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Resolution of singularities is notorious as a difficult topic within algebraic geometry. Recent work, aiming at resolution of families and semistable reduction, infused the subject with logarithmic geometry and algebraic stacks, two techniques essential for the current theory of moduli spaces. As a byproduct a short, a simple and efficient functorial resolution procedure in characteristic 0 using just algebraic stacks was produced. The goals of the book, the result of an Oberwolfach Seminar, are to introduce readers to explicit techniques of resolution of singularities with access to computer implementations, introduce readers to the theories of algebraic stacks and logarithmic structures, and to resolution in families and semistable reduction methods.

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Dieses Buch gibt eine Einführung in die Algebraische Geometrie. Ziel ist es, die grundlegenden Begriffe und Techniken der algebraischen Geometrie darzustellen und an Hand zahlreicher Beispiele zu erläutern.  Dies soll es dem Leser ermöglichen, selbständig mit weiterführenden Texten zu arbeiten. Die Sprache wird bewusst elementar gehalten.  Besonderes Gewicht wird auf die Darstellung des Wechselspiels zwischen der Entwicklung der allgemeinen Theorie einerseits, und der Behandlung von konkreten Beispielen und Anwendungen andererseits, gelegt. Der Umfang entspricht dem Stoff einer 1-semestrigen 4-stündigen Vorlesung. Das Buch ist geeignet für Studierende der Mathematik im Bachelor-Studium, die die einführenden Vorlesungen über Algebra und Funktionentheorie gehört haben. Die Neuauflage wurde stark überarbeitet, neue Abbildungen wurden erstellt, weitere Übungsaufgaben und Lösungshinweise zu allen Übungsaufgaben wurden ergänzt. Inhalt Affine Varietäten - Projektive Varietäten - Glatte Punkte und Dimension - Ebene kubische Kurven - Kubische Flächen - Theorie der Kurven - Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben Zielgruppen Studierende der Mathematik (Bachelor- und Lehramt) ab dem 3./4. Semester Dozenten der Mathematik Über den Autor Prof. Dr. Klaus Hulek lehrt und forscht an der Leibniz Universität Hannover. Die Reihe Aufbaukurs Mathematik.

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Das Buch bietet eine Übersicht über Kurven mit Schlaufen und Spitzen, über Spiralen und Rosetten, Ellipsen und andere Kegelschnitte, die zu den faszinierendsten Objekten der Mathematik gehören. Konstruieren und erkunden Sie diese mit GeoGebra und anderen Mathematikwerkzeugen oder von Hand und erzeugen Sie kreativ weitere Kurven. Das nötige mathematische Rüstzeug wird in Herleitungen, Beweisen und Bezügen sorgfältig entwickelt und vielfältig angewendet. Ziel des Buches ist es, eine zeitgemäße Gesamtdarstellung zu bieten, die vor allem der Lehrerausbildung neue Impulse geben soll. Mathematische Kompetenzen, die wirklich Relevanz in der Schule haben, sollen an diesem „vergessenen“ Thema entwickelt werden. Aber auch Studierende, Lehrkräfte, Lernende von Klasse 8 an bis „ins hohe Alter“ sollen Ihre Freude an möglichst eigenständigem mathematischen Tun haben. Die Website zum Buch bietet alle verwendeten GeoGebra-Dateien, die anderer Software und Ergänzungen zum freien Download an. Der Inhalt Werkzeugkasten - Klassische Kurven ohne Ende - Barocke Blüten und Früchte - Frei erfunden und hoch hinaus - Die unlösbaren Probleme der Antike – Kegelschnitte - Kurven mit Drehwurm - Besondere Erzeugungsweisen für Kurven - Didaktische Übersicht - Anhang: Elemente der Analysis für Kurven Die Autorin Prof. Dr. Dörte Haftendorn lehrte Mathematik am Gymnasium und an der Leuphana Universität Lüneburg. Sie ist Autorin des Buches "Mathematik sehen und verstehen".

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Based on the Simons Symposia held in 2015, the proceedings in this volume focus on rational curves on higher-dimensional algebraic varieties and applications of the theory of curves to arithmetic problems. There has been significant progress in this field with major new results, which have given new impetus to the study of rational curves and spaces of rational curves on K3 surfaces and their higher-dimensional generalizations. One main recent insight the book covers is the idea that the geometry of rational curves is tightly coupled to properties of derived categories of sheaves on K3 surfaces. The implementation of this idea led to proofs of long-standing conjectures concerning birational properties of holomorphic symplectic varieties, which in turn should yield new theorems in arithmetic. This proceedings volume covers these new insights in detail. .

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This book completes the comprehensive introduction to modern algebraic geometry which was started with the introductory volume Algebraic Geometry I: Schemes. It begins by discussing in detail the notions of smooth, unramified and étale morphisms including the étale fundamental group. The main part is dedicated to the cohomology of quasi-coherent sheaves. The treatment is based on the formalism of derived categories which allows an efficient and conceptual treatment of the theory, which is of crucial importance in all areas of algebraic geometry. After the foundations are set up, several more advanced topics are studied, such as numerical intersection theory, an abstract version of the Theorem of Grothendieck-Riemann-Roch, the Theorem on Formal Functions, Grothendieck's algebraization results and a very general version of Grothendieck duality. The book concludes with chapters on curves and on abelian schemes, which serve to develop the basics of the theory of these two important classes of schemes on an advanced level, and at the same time to illustrate the power of the techniques introduced previously. The text contains many exercises that allow the reader to check their comprehension of the text, present further examples or give an outlook on further results. Contents Differentials - Étale and smooth morphisms - Local complete intersections - The étale topology - Cohomology of sheaves of modules - Cohomology of quasi-coherent sheaves - Cohomology of projective and proper schemes - Theorem on formal functions - Duality - Curves - Abelian schemes - Appendix: Homological Algebra - Appendix: Commutative Algebra About the Authors Prof. Dr. Ulrich Görtz, Department of Mathematics, University of Duisburg-Essen Prof. Dr. Torsten Wedhorn, Department of Mathematics, Technical University of Darmstadt.

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