TY - THES ID - 73482013 TI - Multigrid methods for time-dependent partial differential equations AU - Van Lent, Jan AU - Katholieke Universiteit Leuven PY - 2006 SN - 9056826786 PB - Heverlee Katholieke Universiteit Leuven. Faculteit Ingenieurswetenschappen DB - UniCat KW - 681.3*G18 <043> KW - 519.63 <043> KW - Academic collection KW - 519.63 <043> Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties KW - Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties KW - 681.3*G18 <043> Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis)--Dissertaties KW - Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis)--Dissertaties KW - Theses UR - https://www.unicat.be/uniCat?func=search&query=sysid:73482013 AB - Tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen worden numeriek opgelost door zowel tijd als ruimte te discretiseren. Omdat de zo bekomen stelsels van vergelijkingen erg groot kunnen zijn, is het vaak nodig iteratieve methodes te gebruiken die de structuur van deze systemen uitbuiten. Voor gediscretiseerde parabolische problemen zijn multiroostermethodes een uitstekende keuze. Een typisch modelprobleem is de warmtevergelijking gediscretiseerd met eindige differenties of eindige elementen in de ruimte en met een lineaire multistapmethode in de tijd. We onderzoeken hoe multiroostertechnieken kunnen toegepast worden voor meer algemene tijdsafhankelijke problemen. In het bijzonder ontwikkelen we multiroostermethodes voor anisotrope problemen, tijdsdiscretisaties van hoge orde en problemen met vertraging. Verder stellen we ook een nieuwe werkwijze voor om de convergentie van multiroostermethodes voor tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen te analyseren. Anisotrope partiële differentiaalvergelijkingen hebben coëfficiënten met een sterke richtingsafhankelijkheid. Voor zulke problemen werken standaard multiroostermethodes niet goed. Uitgaande van de technieken voor stationaire anisotrope problemen ontwikkelen we efficiënte multiroostermethodes voor tijdsafhankelijke anisotrope problemen. We beschouwen methodes gebaseerd op lijnrelaxatie, semivergroving en meervoudige semivergroving. We passen dezelfde methodes ook met goede resultaten toe op diffusievergelijkingen met coëfficiënten die afhangen van zowel positie als richting. Impliciete Runge-Kuttamethodes, randwaardemethodes en algemene lineaire methodes zijn krachtige tijdsdiscretisatieschema's die nauwkeurigheid van hoge orde, goede stabiliteit en vele andere gunstige eigenschappen toelaten. Voor algemene tijdsafhankelijke problemen zijn de resulterende systemen van vergelijkingen echter moeilijker op te lossen dan bij lineaire multistapmethodes. We tonen aan dat voor gediscretiseerde parabolische problemen, erg efficiënte multiroostermethodes ontwikkeld kunnen worden. De stabiliteit van de tijdsdiscretisatieschema's blijkt erg belangrijk voor de convergentie van de iteratieve methodes. Dezelfde technieken worden gebruikt om de combinatie van iteratieve methodes en Chebyshev spectrale collocatie in de tijd te bestuderen. Bij gewone tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen hangt de verandering van de toestand op een bepaald moment enkel af van de huidige toestand van het systeem. Bij partiële differentiaalvergelijkingen met vertraging hangt de toestandsverandering ook af van toestanden in het verleden. We bestuderen iteratieve methodes voor diffusievergelijkingen met een extra term met een vaste vertraging. In al deze gevallen wordt het gedrag van de methodes beoordeeld met een theoretische convergentieanalyse en met numerieke experimenten. De theoretische analyses combineren de theorie van convolutieoperatoren en Laplacetransformaties voor tijdsafhankelijke problemen met technieken gebaseerd op Fouriermodes voor multiroostermethodes. We introduceren een nieuwe aanpak voor de spectrale analyse van iteratieve methodes gebaseerd op functionele calculus. Deze theorie omvat de Laplaceanalyse voor tijdsafhankelijke problemen en de Fourieranalyse voor multiroostermethodes. Time-dependent partial differential equations are solved numerically by discretizing both space and time. Since the resulting systems of equations can be very large, it is often necessary to use iterative methods that exploit the structure of these systems. For discretized parabolic problems multigrid methods are a particularly good choice. A typical model problem is the heat equation, discretized using finite differences or finite elements in space and a linear multistep method in time. We investigate here how multigrid techniques can be used for more general time-dependent problems. In particular we develop multigrid methods for anisotropic problems, high order time discretizations and problems with delay. Furthermore, we propose a new framework for the convergence analysis of multigrid methods for time-dependent partial differences equations. Anisotropic partial differential equations have coefficients with a strong directional dependency. For such problems standard multigrid methods break down. By extending the techniques for stationary anisotropic problems, we develop efficient multigrid methods for time-dependent anisotropic problems. We consider methods based on line relaxation, semicoarsening and multiple semicoarsening. The same methods are also applied with good results to diffusion equations with coefficients that depend on position as well as direction. Implicit Runge-Kutta methods, boundary value methods and general linear methods are powerful time discretization schemes providing high order accuracy, good stability and many other desirable properties. For general time-dependent problems, however, the resulting systems of equations are harder to solve than the ones for linear multistep methods. We show that for discretized parabolic problems, very efficient multigrid methods can be developed. The stability of the time discretization schemes turns out to be very important for the convergence of the iterative methods. The same techniques are used to study iterative methods in combination with Chebyshev spectral collocation in time. For standard time-dependent partial differential equations, the change of state at a certain time only depends on the current state of the system. For delay partial differential equations, the change of state also depends on the state of the system at times in the past. We study iterative methods for diffusion equations with one extra term with a fixed delay. In all these cases the performance of the methods is assessed with a theoretical convergence analysis and numerical experiments. The theoretical analyses combine the theory of Volterra convolution operators and Laplace transforms for time-dependent problems and Fourier mode techniques for multigrid. We propose a new approach for the spectral analysis of iterative methods based on functional calculus. This theory unifies the Laplace analysis for time-dependent problems and the Fourier analysis of multigrid methods. ER -